今有勾八步，股一十五步。問(wèn)勾中容圓徑幾何？
術(shù)曰：八步為勾，十五步為股，為之求弦。三位并之為法。以勾乘股，倍之為實(shí)。實(shí)如法得徑一步。

漢《九章算術(shù)·勾股》

【評(píng)】此為勾股形的內(nèi)切圓圓徑公式d=。勾股容圓問(wèn)題在宋、元時(shí)發(fā)展為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，此為其濫觴。宋賈憲將其稱(chēng)為“勾股求弦和較法”,蓋勾股所容圓之徑即為弦和較(a+b) - c。
勾、股相乘為圖本體，朱、青、黃冪各二^①,倍之，則為各四[原本“圖”訛作“圓”,脫“倍”字，“則”下衍“田”字，參照戴震、錢(qián)寶琮校正]?？捎卯?huà)于小紙，分裁邪正之會(huì)，令顛倒相補(bǔ)，各以類(lèi)合，成修冪：圓徑為廣，并勾、股、弦為袤②。故并勾、股、弦以為法。

《九章算術(shù)·勾股》三國(guó)魏·劉徽注

[注]①?gòu)墓垂尚蔚膬?nèi)切圓圓心向三邊引垂線，勾股形分成三
部分，其正方形(邊長(zhǎng)為圓半徑)為黃冪，其馀兩部分分別為朱冪、青冪。則二個(gè)勾股形(即勾股相乘)有朱、青、黃冪各二。②此是說(shuō)將四個(gè)勾股形重新組合成以圓徑為廣，以并勾、股、弦為從的長(zhǎng)療形，其面積為2ab。
【評(píng)】此為劉徽所記用出入相補(bǔ)原理對(duì)勾股形內(nèi)切圓圓徑公式的證明。
又以圓大體言之，股中青必令立規(guī)于橫廣，勾、股又邪三徑均，而復(fù)連規(guī)，從橫量度勾股，必合而成小方矣。又畫(huà)中弦^①以觀其[原本作“規(guī)除”,依戴震校改]會(huì)，則勾、股之面中央各有[原本脫“各有”二字，依錢(qián)寶琮補(bǔ)]小勾股弦。勾之小股、股之[原本訛作“面面”,依意校正]小勾皆小方之面，皆圓徑之半。其數(shù)故可衰。以勾、股、弦為列衰，副并為法。以勾[原本“勾”上衍“小”字，李潢刪]乘未并者，各自為實(shí)。實(shí)如法而一，得勾面之小股，可知也。以股乘列衰為實(shí)，則得股面之小勾可知。言雖異矣，及其所以成法實(shí)[“實(shí)”上原本有“之”字，李潢刪],則同歸矣。

《九章算術(shù)·勾股》三國(guó)魏·劉徽注

[注]①中弦是過(guò)內(nèi)切圓圓心平行于弦的線段。
【評(píng)】劉徽在此用衰分術(shù)證明《九章算術(shù)》的勾股容圓徑公式。
則圓徑又可以表(原本“表”訛作“勾乘”,今校正)之差并：勾弦差減股為圓徑^①;又，弦減勾股并，馀為圓徑^②;以勾弦差乘股弦差而倍之，開(kāi)方除之，亦圓徑也^③。

《九章算術(shù)·勾股》三國(guó)魏·劉徽注

[注]①此即d=b-(c-a)。②d=(a+b)-c。
【評(píng)】這是劉徽提出的另外幾個(gè)勾股容圓圓徑公式。
問(wèn)有圓城不知周徑，四門(mén)中開(kāi)。北外三里有喬木。出南門(mén)便折東行九里乃見(jiàn)木。欲知城周徑各幾何？
術(shù)曰：以勾股差率求之^①。一為從隅，伍因北外里，為從七廉。置北里冪，八因，為從五廉。以北里冪為正率，以東行冪為負(fù)率，二率差，四因，乘北里為益從三廉。倍負(fù)率，乘五廉，為益上廉。以北里乘上廉，為實(shí)，開(kāi)玲瓏九乘方^②。得數(shù)，自乘為徑。以三因徑，得周。

宋·秦九韶《數(shù)書(shū)九章·測(cè)望類(lèi)》

[注]①此為提示列方程的主要方法。勾股差率即以已知勾股差與弦之率所形成的勾、股、弦三率，源于《九章算術(shù)》已知勾股差與弦求勾股的“戶高多于廣”問(wèn)。設(shè)弦率為p,勾股差率為q,則勾、股、弦三率為：
是為勾股數(shù)通式的另一種形式。②此謂求十次方程。x¹⁰+5kx⁸+8k²x⁶-4(l²-k²)kx⁴-16l²k²x²-16l²k³＝ 0的正根，其中北外為k,東行為l,x²為城徑。秦九韶將無(wú)未知
數(shù)的奇次冪的開(kāi)方稱(chēng)作開(kāi)玲瓏某乘方。
【評(píng)】此相當(dāng)于洞淵九容中股上容圓問(wèn)題，又是需用到勾股差率和開(kāi)高次方的測(cè)望問(wèn)題。同類(lèi)問(wèn)題，李冶用三次方程解決，秦氏所以列出十次方程者，蓋欲顯示可解高次方程。
凡大小差相乘為半段徑冪^①;大差勾小差股相乘亦同上。虛勾乘大股得半段徑冪；虛股乘大勾亦同上。邊股叀股相乘得半徑冪；明勾底勾相乘亦同上。黃廣股黃長(zhǎng)勾相乘為徑冪。高股平勾相乘得半徑冪。明弦明股并，與叀弦叀勾并相乘得半徑冪；明弦明勾并，與叀弦叀股并相乘，亦同上。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷一

[注]①大差即勾弦差，小差即股弦差，此句即=(c-a)(c-b)。以下九句也都是用各勾股形中諸線段之積表示直徑或半徑，不再注。
【評(píng)】此是《測(cè)圓海鏡》卷一“識(shí)別雜記·諸雜名目”中的十個(gè)用諸勾股形線段之積表示圓徑的基本公式?！白R(shí)別雜記”含有692條，除8條外，都是正確的幾何公式，反映了宋元時(shí)代中國(guó)學(xué)者豐富的幾何知識(shí)?！白R(shí)別雜記”是全書(shū)的理論基礎(chǔ)，對(duì)李冶將已知數(shù)和未知數(shù)聯(lián)系起來(lái)，建立天元式，非常重要。而“諸雜名目”包括若干定義和定理，又是“識(shí)別雜記”的理論基礎(chǔ)，因而是全書(shū)的綱紀(jì)。
假令有圓城一所，不知周徑。四面開(kāi)門(mén)，門(mén)外從橫各有十字大道。其西北十字道頭，定為乾地，其東北十字道頭，定為艮地，其東南十字道頭，定為巽地，其西南十字道頭，定為坤地。所有測(cè)望雜法，一一設(shè)問(wèn)如后。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

【評(píng)】此為《測(cè)圓海鏡》170問(wèn)的總題設(shè)：正方形乾坤巽艮容一圓，圓與十五個(gè)勾股形的各種關(guān)系，由此展開(kāi)。此處，李冶創(chuàng)造了用漢字表示幾何圖形的點(diǎn)的方法，與西方用字母表示點(diǎn)，異曲同工，是個(gè)大進(jìn)步。
法曰：此為勾上容圓①也。以勾股相乘，倍之為實(shí)。并勾、股冪以求弦，加入股，以為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①勾上容圓即圓心在勾上且切于弦和股。其直徑d=。
法曰：此為股上容圓^①也。以勾股相乘，倍之為實(shí)。以勾、股冪求弦，加入勾，以為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①股上容圓即圓心在股上且切于弦和勾。其直徑d=。
法曰：此為勾股上容圓①也。以勾股相乘，倍之為實(shí)，并勾、股冪，如法求弦，以為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①勾股上容圓即圓心在勾、股交點(diǎn)且切于弦。其直徑d=
法曰：此為弦上容圓^①也。以勾股相乘，倍之為實(shí)，以勾股和為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①弦上容圓即圓心在弦上且切于勾、股。其直徑d=
法曰：此為勾外容圓^①也。以勾股相乘，倍之為實(shí)，以弦較共為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①勾外容圓即切于勾及股、弦的延長(zhǎng)線者，其直徑d=
法曰：此為股外容圓^①也。以勾股相乘，倍之為實(shí)，以弦較較為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①股外容圓即切于股及勾、弦的延長(zhǎng)線者。其直徑d=
法曰：此為弦外容圓^①也。勾股相乘，倍之為實(shí)，以弦和較為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①弦外容圓即切于弦及勾、股的延長(zhǎng)線者。其直徑d=
法曰：此外勾外容圓半^①也。以勾股相乘，倍之為實(shí)，以大差為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①勾外容圓半即圓心在股的延長(zhǎng)線上且切于勾、弦的延長(zhǎng)線。大差即勾弦差。其直徑d=
法曰：此為股外容圓半^①也。以勾股相乘，倍之為實(shí)，以小差為法。

元·李冶《測(cè)圓海鏡》卷二

[注]①股外容圓半即圓心在勾的延長(zhǎng)線上且切于股、弦的延長(zhǎng)線。小差即股弦差。其直徑
【評(píng)】以上九個(gè)公式及李冶列在此九個(gè)公式前面的《九章算術(shù)》勾股容圓公式，是《測(cè)圓海鏡》的十種基本容圓公式。李冶說(shuō)，他的《測(cè)圓海鏡》是在洞淵九容的基礎(chǔ)上演繹而來(lái)的，清末李善蘭認(rèn)為，洞淵九容之術(shù)即以上九個(gè)公式，也有人認(rèn)為九容包括勾股容圓而無(wú)弦上容圓。