術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，六而一^①。

漢《九章算術(shù)·商功》

腝者，臂骨也。或曰，半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云。中破陽馬得兩鱉腝，之見數(shù)即陽馬之半數(shù)。數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一，即得。

《九章算術(shù)·商功》三國魏·劉徽注

[注]①按《九章算術(shù)》題設(shè)此處鱉腝是下有廣，無袤，上有袤，無廣，有高的四面體，顯然，其四面皆為勾股形。此為鱉腝體積公式
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其中a,b,h分別是下廣、上袤、高。
【評】如果已經(jīng)證明了陽馬體積公式，則鱉腝體積是其半。實(shí)際上，劉徽用極限方法將鱉腝與陽馬結(jié)合在一起同時(shí)證明了它們的體積公式。見“極限”類。
鱉腝之物，不同器用。陽馬之形，或隨修短廣狹。然不有鱉腝，無以審陽馬之?dāng)?shù)，不有陽馬，無以知錐亭之類，功實(shí)之主也。

《九章算術(shù)·商功》三國魏·劉徽注

【評】劉徽指出解決四面體的體積是多面體體積的關(guān)鍵，這一天才結(jié)論完全符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體積理論。中國古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用，而鱉腝并無實(shí)用，它的引入，完全是數(shù)學(xué)理論的需要。
合四陽馬以為方錐，邪畫方錐之底，亦令為中方。就中方削而上合，全為中方錐之半。于是陽馬之棋悉中解矣。中錐離而為四鱉腝焉。故外錐之半亦為四鱉腝。雖背正異形，與常所謂鱉腝參不相似，實(shí)則同也。

《九章算術(shù)·商功》三國魏·劉徽注

大鱉腝皆出隨(原本“皆”字闌入此，依意改)方錐^①,下廣二尺[原本訛作“三尺”,依意改],袤六尺，高七尺。分取其半，則為袤三尺。以高、廣乘之，三而一，即半錐之積也。邪解半錐得此兩大鱉腝。求其積，亦當(dāng)六而一，合于常率矣。按：陽馬之棋兩邪，棋底方。當(dāng)其方也，不問旁、角而割之，相半可知也。推此上連無成^②不方，故方錐與陽馬同實(shí)。角而割之者，相半之勢。此大小鱉腝可知更相表里，但體有背正也。
[注]①隨，音義通橢。橢方錐即長方錐。②成，訓(xùn)層。

《九章算術(shù)·商功》三國魏·劉徽注

【評】劉徽既已認(rèn)識到鱉腰是解決多面體體積的“功實(shí)之主”,因此，著力解決各種形狀的鱉腝即四面體的體積，此二段表明，他接近提出任何四面體體積都是其三度積的1/6。后一段用到“上連無成不方故方錐與陽馬同實(shí)”的原理，亦為后來祖暅之原理的濫觴。近代西方卡瓦列利(1598—1647)的不可分量與此相近。