指求得實(shí)系數(shù)一元高次方程的根或其近似值的技能，以及求某些特殊的復(fù)系數(shù)方程的根的技能等。它是數(shù)學(xué)中基本的運(yùn)算技能之一。
解一元高次方程技能訓(xùn)練的基本要求和注意點(diǎn)是：①明確其基本思想是“降次”,即轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的方程來解，基本方法是利用因式分解(參見“一元多項(xiàng)式的因式分解”)或利用換元法(參見“換元法”)。②有理系數(shù)的一元高次方程要化為整系數(shù)方程來解。③會(huì)用牛頓試除法求整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的有理根：先求出常數(shù)項(xiàng)的所有約數(shù)u₁,u₂,…u_k(包括負(fù)的約數(shù)),首項(xiàng)系數(shù)的所有約數(shù)v₁,v₂…v₁,寫出一切可能的u_i/v_j,再對(duì)這有限個(gè)u_i/v_j用綜合除法進(jìn)行試除(參見《綜合除法》)。當(dāng)求得一個(gè)有理根后，只要再對(duì)商式進(jìn)行試除。對(duì)求得的有理根還要繼續(xù)試除，以檢查是否為重根。當(dāng)u_i/v_j很多時(shí)，會(huì)用以下方法縮小試除的范圍：先計(jì)算f(1)與f(-1),檢查1與-1是否為根。若f(1),f(-1)都不為零，則只需對(duì)使商f(1)/1-α,f(-1)/1+α都是整數(shù)的α=u_i/v_j進(jìn)行試除；若f(1)(或f(-1))為零則可用(x-1)(或(x+1))進(jìn)行試除，而對(duì)所得的商式再考慮以上步驟。在試除過程中，如商式出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)，要知道不需再除下去，所試除的數(shù)不是f(x)的根。④懂得在復(fù)數(shù)范圍一元n次方程恰有n個(gè)根(n重根就當(dāng)n個(gè)計(jì)算)。實(shí)系數(shù)方程只可能有實(shí)根或成對(duì)的共軛虛根。并知道，在實(shí)際上要求出這些根常很困難，而且并非都能辦到。一元三次方程，四次方程有求根公式，但很麻煩，實(shí)用價(jià)值不大。而五次及五次以上的方程不存在求根公式，即不能把一般的五次及五次以上的方程的解通過系數(shù)的有限次加減乘除、乘方、開方表示出來。所能解的只是一些特殊的高次方程。⑤懂得對(duì)于實(shí)系數(shù)一元高次方程，當(dāng)它的實(shí)根不能用上面所述方法方便地求得時(shí)，需要求出實(shí)根的近似值，這在實(shí)際問題中大量存在。知道可以用施圖姆方法求得實(shí)根的個(gè)數(shù)，和進(jìn)行實(shí)根的隔離，即把不同的實(shí)根分隔在不同的互不交叉的區(qū)間內(nèi)。(施圖姆方法可在有關(guān)多項(xiàng)式代數(shù)的書籍中查到)。⑥會(huì)用秦九韶法求實(shí)系數(shù)一元高次方程f(x)=0實(shí)根的近似值：設(shè)f(x)沒有重根(這不失一般性，因?yàn)榭偪梢园岩粋€(gè)多項(xiàng)式的重因式去掉，參閱《高等代數(shù)》),在區(qū)間[c,c+1]內(nèi)有一個(gè)實(shí)根α,(c是整數(shù)),作變換x=c+y,f(x)變?yōu)?span id="f0uwi4q" class="PUC01_E9">?(y),它有一個(gè)根β在0與1之間，α=C+β。把[0,1]分成10個(gè)較小的閉區(qū)間：[0,0.1]、[0.1,0.2]、…,[0,9,1]?？疾?span id="4f4vhmm" class="PUC01_E9">?(y)在小區(qū)間端點(diǎn)的符號(hào)，由在兩端異號(hào)即知β在該小區(qū)間內(nèi)。設(shè)β在[0.C₁,0,C₁+0.1]內(nèi)，那么C.C₁就是α的精確到0.1的近似值。若再作變換y=0.C₁+z,則?(y)變?yōu)?span id="olfgksd" class="PUC01_E9">?(z),它有一個(gè)根γ在0與0.1之間，有β=0.C₁+γ,從而α=c.c₁+γ。再確定γ在[0,0.01],[0.01,0.02]……,[0.09,0.1]中的哪一個(gè)內(nèi)，設(shè)γ在[0,0C₂,0.0C₂+0.01]內(nèi)，那么C.C₁C₂就是α精確到0.01的近似值。如此繼續(xù)，可求得α的達(dá)到給定精確度的近似值。并知道上面的變換x=c+y,由f(x)得到?(y),可列豎式作連續(xù)綜合除法容易地得到，⑦會(huì)用牛頓法(切線法)求實(shí)系數(shù)一元高次方程f(x)=0實(shí)根的近似值：設(shè)f(x)沒有重根，它在[a,b]上有一個(gè)根α,沒有其它根，f′(x)與f″(x)在[a,b]內(nèi)符號(hào)不變，那么f(x)與f″(x)總在[a,b]的一端上有相同的符號(hào)，用x₀表示這個(gè)端點(diǎn)。用y=f(x)上過點(diǎn)(x₀,f(x₀))的切線和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁,作為曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)α的近似值，有x₁＝重復(fù)上述過程，就求得方程f(x)=0的根α的逐次近似值：x_i+1知道用如上方法所得的近似值序列x₁,x₂,……x_n,…收斂于α,故可求得α的有事先給定精確度的近似值。⑧會(huì)用線性插值法(弦線法，拉格朗日法)求實(shí)系數(shù)一元高次方程f(x)=0的近似值：設(shè)f(x)在[a,b]內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根，(所要滿足的其它條件同“牛頓法”中所述),f″(x)與f(x)總在[a,b]的一個(gè)端點(diǎn)上有相異的符號(hào)(與牛頓法相反),用x₀表示這個(gè)端點(diǎn)，作為α的初始近似值(也是以下迭代中的初始值),用A、B分別表示點(diǎn)(a,f(a))與(b,f(b)),以弦線AB代替曲線y=f(x)在AB間的一段，以AB與x軸交點(diǎn)的橫座標(biāo)x₁作為曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)α的近似值。重復(fù)以上過程，即得α的逐次近似值。若f(a)與f″(a)異號(hào)，則取a為x₀,迭代公式為：x_i+1＝x_i-i=0,1,2……若f(b)與f″(b)異號(hào)，則取b為x₀,迭代公式為；知道用如上方法所得近似值序列x₁,x₂…x_n,…收斂于α,故用弦線法可求出α的有事先給定精確度的近似值。⑨知道在實(shí)際計(jì)算中，切線法和弦線性可聯(lián)合使用，它們的近似值序列分別是從曲線的凸與凹的一面單調(diào)收斂于α,精確度好估算。⑩知道牛頓法和線性插值法也適用于連續(xù)且二階可導(dǎo)的一元實(shí)函數(shù)。